RMS value, Form factor, and Peak factor

What is RMS (Root mean square) value in AC?
(RMS value का उत्तर लिखने के लिए केवल पीले background वाली line को लिखें। RMS के लिए नीचे दी गयी व्याख्या AC की वोल्टेज के लिए है, परंतु यदि AC की धारा(current) के लिए RMS value निकालनी हो, तब सभी 'v' और 'V' को 'i' और 'I' से बदल दें और वोल्टेज की जगह धारा या current लिखें।)
हम जानते हैं की AC में वोल्टेज लगातार बदलती रहती है। यदि हम battery की DC वोल्टेज की बात करें तो, DC नहीं बदलती है। अगर हम 12 volt की battery की DC को multimeter से बार-बार चेक करें तो हर बार 12 volt ही रहेगी। परन्तु AC के एक पूरे चक्र के आधे को बार-बार नापें तो हर बार अलग-अलग रीडिंग मिलेगी, और बाकी आधे चक्र में वही रीडिंग नेगेटिव - में मिलेगी।

अतः जब वोल्टेज एक जगह पर रुकती ही नहीं है, तब हम कैसे कह सकते हैं, कि हमारे घर में 230 volt AC आती है? इसी समस्या का समाधान करने के लिये AC की RMS(Root Mean Square) यानी हिन्दी में, वर्ग मध्य मूल निकाला जाता है। अतः हमारे घरों में जो बिजली आती है, वह AC के एक चक्र की सम्पूर्ण वोल्टेज का वर्ग मध्य मूल है।
असल में हमको AC की 0 से Vmax तक और Vmax से पुनः 0 तक की सारी वोल्टेज का मध्य मान निकालना होता है, जिसके लिये AC की 0 से π तक, सारी वोल्टेज को जोड़ कर π से ÷ करना होता हैं। (सिर्फ आधे चक्र की ही RMS मान निकलते हैं क्योंकि बाकी के आधे चक्र का मान भी उतना ही होगा, बस उसकी दिशा विपरीत होगी) परन्तु यह काम इतना सीधा नहीं है। AC में किसी भी छण वोल्टेज का मान v = Vmax×SinΘ के बराबर होता है। जहां Θ = 0 से π के बीच का कोण, यानी 0 से 180° के बीच का कोण है। कोण के बदलने के साथ-साथ वोल्टेज भी बदलती रहती है।
क्योंकि AC में वोल्टेज लगातार परिवर्तित होती रहती है, अतः 0 से π तक अनंत मान प्राप्त होंगे। अतः इन अनन्त मान को जोड़ने के लिये v = Vmax × SinΘ का 0 से π तक integration करते हैं।

परन्तु यहाँ भी एक समस्या है। इस तरह हम AC के केवल positive हिस्से का मध्य मान निकाल पायेंगे। जबकि सूत्र ऐसा होना चाहिए की AC के एक पूरे चक्र में, किसी भी आधे हिस्से का मान निकाल सके। 

 

चित्र में तीन half cycle दिखायीं गयी हैं। यदि पहले अर्ध चक्र के लिये मध्य मान निकलते हैं, तो उत्तर positive आता है। यदि दूसरे अर्ध चक्र के लिये मध्य मान निकलते हैं तो उत्तर negative में आता है और यदि बीच के अर्ध चक्र के लिये ऊपर के सूत्र से मध्य मान निकलते हैं, तब उत्तर 0(शून्य) आयेगा, क्योंकि बीच के हिस्से में आधी cycle + और आधी - है। दोनों को जोड़ने से 0 प्राप्त होगा। अतः गणितज्ञों ने एक हल निकाला। मध्य मान निकालने के लिये पहले सारी values का square(वर्ग) कर दो फिर मध्य मान निकाल कर फिर से रूट(√) निकाल दो। दोनों एक दूसरे की विपरीत कम करते हैं। इसे समझने के लिये एक उदाहरण लेते हैं।
example:- 2+(-2)=0 है। पर हमें दोनों का योग + मे चाहिए और 0 भी नहीं आना चाहिए।
अतः दोनों का वर्ग करने पर=  2² + (-2)² = 4 + 4 
अब दोबारा से मूल करने पर= √4 + √4 = 2 + 2 = 4 उत्तर + में है।
square(वर्ग) करने से - चिन्ह की समस्या का समाधान हो जाता है और root(√) करने से संख्या वापस अपनी पुरानी स्थिति में लौट जाती है।

अतः AC में  सबसे पहले 0 से π तक सभी values(मान) का वर्ग(²) करते हैं और इसके बाद मध्य मान निकालने के लिये π से भाग(÷) देते है। फिर  दोबारा से वापस मूल (√)निकाल देते हैं। 
अंत में हमें पता चलता है कि AC  की RMS value, AC के अधिक्तम मान को 0.707 से गुणा करने पर प्राप्त होती है।
अतः हमारे घरों में आने वाली बिजली कि अधिक्तम वोल्टेज 230 से भी ज्यादा होती है। 230 volt तो घर मे आने वाली बिजली का RMS मान है।
घर कि बिजली कि अधिक्तम वोल्टेज 
Vmax = 230/0.707 = 325.32 volt है।
RMS value को प्रभावी मान या वास्तविक मान भी कहते हैं। (effective value or true value)







Average value of AC (AC का औसत मान)
RMS value से अलग, औसत मान में root और square नहीं करते हैं। औसत मान के लिए केवल मध्य मान निकालते हैं। औसत मान निकालने के लिए 0 से π तक VmaxSinΩt का integration करते हैं और तत्पश्चात π से भाग (÷) करते हैं।

 अतः AC में अर्धचक्र के लिए औसत मान, अधिकतम voltage (Vmax) को 0.637 से गुणा करने पर प्राप्त होता है। 

Form Factor (रूप गुणांक)
AC में RMS value और average value अनुपात (ratio) को रूप गुणांक कहते हैं। यह एक मात्रक रहित (unit less) राशि हे, और इसे K_f  से परदर्शित करते  है।
रूपगुणांक = Vrms/Vave
K_f = Vmax/√2 × π/2Vmax
K_f = π/2√2
K_f = 1.11

Peek Factor (शिखरगुणांक) 
AC के अधिकतम मान (Vmax) और Vrms के अनुपात को शिखरगुणांक कहते  है। यह एक मात्रक रहित (unit less) राशि हे, और इसे Kp से परदर्शित करते  है।
शिखरगुणांक = Vmax/Vrms 
Kp = Vmax/1 × √2 Vmax
Kp = √2
Kp = 1.414